Il sistema regolare a 1/6 comma sintonico

Siamo tutti consapevoli di una netta distinzione tra gli strumenti ad intonazione fissa (e l’organo è sicuramente uno fra i più “fissi” dato che modificare l’accordatura di qualche centinaio di canne è un’operazione laboriosa e complessa) e gli strumenti ad intonazione mobile o le voci.
L’organo non può cambiare facilmente accordatura, certo, ma la frequenza delle note prodotte non è mai perfettamente stabile e centrata: negli strumenti da basso continuo basta un alito, l’aria mossa da una mano, l’ombra di uno spartito sul leggio e il suono cambia. Così quando violoncello e contrabbasso rombano vicino all’organo da basso continuo, questo si sottomette volentieri, magari brontola un po’ se è molto disallineato, ma solitamente s’adegua. Più breve è la collisione, meno s’avvertono i battimenti. Comunque è regola che tutti gli strumenti e cantanti prendano il corista (o le note di accordatura) dalla tastiera: è l’unico riferimento per iniziare.

Nella prassi dell’accordatura dell’organo da basso continuo distinguerei allora due opzioni (fatte salve le esigenze del repertorio eseguito, ovviamente): quando lo strumento è principalmente usato per l’accompagnamento e anche quando svolge ruolo concertante è preferibile un sistema di temperamento regolare, con quinte poco strette, diciamo il sesto di comma oppure l’equabile, mentre quando lo strumento è solista possono meglio adottarsi sistemi irregolari o i mesotonici più intensi, come il quarto di comma.
Infatti, se è vero che gli aggiustamenti d’intonazione sono continui negli archi come nei fiati e nella voce, tuttavia scostamenti eccessivi dalle “note giuste”, come quelli presenti nel tono medio a 1/4 di comma, sono piuttosto faticosi da reggere. Se strumentisti e voci sono abituati a convivere con l’esigenza del temperamento tastieristico, sono però insofferenti quando essa diventa dittatura: non si possono obbligare gli archi a stridere come richiede il Vallotti quando incontrano la terza Fa♯-La♯, né i coristi a cantare Do-Re♯ se trovano scritto Do-Mi♭. Quindi bisogna mediare anche tra le mediazioni che il temperamento stesso impone.
È vero che molti organi italiani erano (e in parte ancora sono) accordati con il tono medio a 1/4 di comma. Quindi anche i positivi che popolano chiese ora deserte e oratori abbandonati della Penisola presentano spesso questa caratteristica, che li rende “solisti” eccellenti, ma cocciuti e tutt’altro che versatili accompagnatori. Sicuramente perciò un tempo erano gli altri strumenti e voci che dovevano piegare il capo, e credo fossero ben allenati a farlo, così come il continuista sapeva evitare per quanto possibile gli unisoni stridenti (Sol♯ contro La♭ ad esempio), specialmente con il Soprano.

Tuttavia esistono alcune possibilità di modificare l’accordatura: le canne tappate si adeguano facilmente, quelle aperte di legno sono dotate di una banderuola di metallo fissata alla sommità, che consente escursioni di parecchi cents (fino a 30¢ circa senza compromettere troppo la pronuncia e il timbro); per le canne di metallo aperte oggi è prassi comune l’accordatura con anelli elastici scorrevoli, che permette escursioni anche maggiori.

È inutile dire che, scegliendo il moderno sistema equabile, si risolvono tanti problemi, compreso quello dell’enarmonia: Bach ad esempio facilmente impiega in uno stesso brano anche 13 o 14 distinte note per ottava (talvolta anche di più, come in alcuni contrappunti dell’Offerta Musicale).
Esistono però autorevoli fonti antiche da cui si desume la possibile adozione di sistemi di temperamento regolare più caratterizzati del sistema equabile.

Peter Prelleur, The Modern Music Master (1731) illustra le posizioni delle dita nel violino, lasciando intendere che il semitono cromatico è minore del semitono diatonico. Leopold Mozart, Versuch einer gründlichen Violinschule (Augsburg, 1756) prescrive che le note alterate con il bemolle siano un comma più alte di quelle enarmoniche alterate con il diesis. Simile concetto compare anche in Johann Joachim Quantz, Versuch einer Anweisung die Flute traversière zu spielen (Berlin, 1752).

Pierfrancesco Tosi, Opinioni de’ Cantori Antichi e Moderni (Bologna, 1723), pp. 12-13 è forse il maestro da cui i precedenti hanno appreso la sottile differenza tra semitono maggiore e semitono minore: egli afferma che all’organo o al cembalo essa non appare chiara, a meno che non siano dotati di tasti spezzati. È certo che con la suddivisione di dodici note per ottava, i semitoni cromatici e quelli diatonici sono stabiliti escludendo l’enarmonia. Così gli intervalli microtonali non sono permessi e inoltre fra due tasti concomitanti sono possibili solamente due opzioni: Sol-Sol♯ è un semitono cromatico, Sol♯-La è diatonico; dunque Sol♯-La♭, Sol-La♭ e La♭-La non sono ammessi.
Tosi sottolinea che a molti musicisti la questione è sconosciuta, e tuttavia la verità è che un tono “si divide in nove intervalli quasi insensibili” di cui cinque “formano il Semituono maggiore, e quattro il minore”.
Tosi aggiunge anche: “V’è opinione però che non sieno più di sette, e che il più gran numero della loro metà componga il primo, e il minore il secondo […].”

Contando esattamente il numero di commi richiesti da Tosi per costruire l’ottava, si calcola che 5 toni interi di 9 parti ciascuno sommati a 2 semitoni diatonici di 5 parti ciascuno fanno in tutto 55 commi.

L’ottava divisa in 55 parti è studiata dalla dottrina attribuita a Filolao e tramandata dai teorici del Rinascimento. Il filosofo greco divideva il tono pitagorico (rapporto 9:8) in nove parti, assegnandone 5 all’apotome (semitono cromatico) e 4 al limma (semitono diatonico). Stando a questa ripartizione l’ottava pitagorica è costituita da 5 toni e 2 limma, quindi 5 × 9 + 2 × 4 = 53 commata.
Ma con la rivoluzione Zarliniana si cominciò a considerare all’opposto il semitono cromatico come intervallo piccolo e quello diatonico come grande, giungendo perciò al ciclo 55. Esso è molto prossimo a quello ottenuto temperando le quinte di 3/17 di comma sintonico: è in pratica sovrapponibile al tono medio a 1/6 di comma.

D’altra parte la suddivisione del tono in sette “commata” genera analogamente a quella appena descritta i due cicli di 43 e 45 parti, dei quali il secondo è quasi coincidente con il sistema ottenuto temperando le quinte di 1/5 di comma sintonico.

Inoltre, continua il Tosi, quando un soprano intona un Re♯ come se fosse un Mi♭, “chi ha l’orrechio fino sente che stuona, perché quest’ultimo cresce”. Ciò indica chiaramente che, per così dire, i diesis sono più gravi dei bemolli, cioè che il semitono cromatico è minore di quello diatonico.

La suddivisione dell’ottava in commata rimase una descrizione teorica, conosciuta piuttosto diffusamente già nel Seicento, sino al calcolo esatto di Joseph Zaragoza che nel 1675 usando i logaritmi stabilì che l’ottava ne contiene quasi 56 (1200¢ ÷ 21.5¢ = 55.8).
Nella pratica il sistema di temperamento mesotonico a 1/6 di comma si affermò nel corso del Settecento. In Germania per esempio secondo Georg Andreas Sorge, Gesprach zwischen einem Musico theoretico und einem Studioso musices (Lobenstein, 1748) Silbermann usava il sistema mesotonico a 1/6 comma. Tuttavia, poiché non specifica quale comma viene temperato, sono possibili due soluzioni: generalmente si punta sulla divisione del comma sintonico, ma nulla esclude che si possa scegliere quello pitagorico, ottenendo una serie leggermente diversa. È risaputo che anche in Italia, già nel Seicento, si accordava con sistemi mesotonici evoluti. Nel secolo successivo Nacchini praticò pure il sesto di comma.

Salinas afferma che le tre varietà di temperamento mesotonico descritte da lui stesso e da Zarlino (1/3, 2/7 e 1/4 di comma sintonico) sono tutte soddisfacenti, perchè nessuna di esse ha consonanze temperate di più di 1/2 di comma. Ebbene, le terze minori del temperamento equabile sono ben più strette di questa quantità, mentre quelle prodotte temperando di 1/6 di comma sono esattamente sul limite.
Una simile affermazione relativa al comma si trova in Zarlino: “che la metà habbia facoltà, aggiunta o tolta da qual si voglia intervallo consonante, di farlo dissonante”.

Dunque nel sistema regolare a 1/6 di comma le terze minori sono strette ma ancora accettabili, mentre il lupo, pur mitigato, è inutilizzabile esattamente come nel 1/4 di comma, che risulta essere il modello di gran lunga più praticato in epoca rinascimentale e barocca.
Nel sistema a 1/6 di comma si riducono di 3.58 cents 11 quinte, stringendole a 698.37 cents. Ciò comporta che dopo sei quinte così temperate si è assorbito l’intero comma, abbracciando l’intervallo indicato dal rapporto 45:32, che è il tritono diatonico di giusta intonazione. Dalla somma di sei quinte pure, tolti il comma sintonico e la riduzione all’ottava, si ottengono i seguenti rapporti:

(3/2)^6 ÷ 81/80 ÷ 8 = 729/64 × 80/81 × 1/8 = 45/4 × 1/8 = 45/32.

Ciò equivale alla differenza fra tritono pitagorico e comma sintonico, cioè 729/512 × 80/81, oppure alla somma d’una terza maggiore pura con un tono pitagorico, ossia 5/4 × 9/8 = 45/32. Come vedremo, quest’ultima considerazione ci permetterà di impostare la procedura per creare lo scomparto dell’ottava.
La quarta aumentata espressa dal rapporto 25:18, che abbiamo visto trattando il sistema regolare a 1/3 di comma, è costituita da due toni minori e un tono maggiore e manca di un comma sintonico rispetto al tritono espresso dal rapporto 45:32, ottenuto a sua volta dalla somma di due toni maggiori e uno minore.

Le triadi diminuite acquistano uno speciale carattere dissonante, tale da produrre un’immediata sollecitazione durante l’ascolto: sono chiari segnali di cadenza. Nelle quadriadi tale ruolo è enfatizzato. L’accordo di settima di dominante presenta un tritono con risoluzione obbligata, mentre l’accordo di settima diminuita ne ha due, che aumentano il numero dei vincoli. Come tutti i bicordi, inoltre, la quinta diminuita 64:45 (complementare del tritono) produce un suono differenziale: esso si colloca all’ottava inferiore, molto vicino alla terza minore sotto il suono più grave. Per esempio, suonando Fa♯-Do, avvertiamo anche un Mi♭ all’ottava inferiore.

Per creare lo scomparto oggi è conveniente l’uso di un accordatore elettronico. In alternativa si possono seguire due procedure complementari, raggiungendo note provvisorie che in seguito saranno aggiustate.

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Nella prima fase ci si avvale di intervalli puri: si parte dal La corista, per accordare la terza maggiore pura discendente La-Fa, quindi la quarta pura ascendente Fa-Si♭ e la quinta pura discendente Si♭-Mi♭, formando così il tritono Mi♭-La nel rapporto 45:32.
La seconda fase consiste nel controllo di tre o quattro intervalli, accomunati da una stessa pulsazione metronomica, scanditi però diversamente, come illustrato qui di seguito. Ricordo che le quarte e le terze maggiori sono larghe rispetto all’intervallo naturale puro, mentre le terze minori e le quinte sono strette; di conseguenza le seste maggiori devono essere larghe e quelle minori strette. In particolare sono significativi i battimenti della sesta maggiore Do-La, delle terze maggiori Mi♭-Sol, Sol-Si e della quinta Do-Sol che sono raffrontabili una volta impostato il metronomo alla pulsazione di 98 battiti al minuto.

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Con una scansione a quartine si accorda il Sol salendo di terza maggiore dal Mi♭; quindi con il medesimo metronomo ma con una scansione a quintine si accorda la sesta maggiore Do-La scendendo dal La corista. Si controlla poi la quinta Do-Sol, che deve avere una pulsazione identica, scandita all’intero; e infine si accorda il Si salendo di terza maggiore dal Sol, scandendo ancora una volta quintine con il medesimo valore metronomico.

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È possibile ripetere la prima procedura per ottenere i nuovi tritoni avvalendosi di note ausiliarie opportunamente collocate fuori dall’ottava dello scomparto: ad esempio da Do a Fa♯ si passa attraverso la terza maggiore pura Do-Mi, la quarta discendente pura Mi-Si e la quinta ascendente pura Si-Fa♯. Perciò si sono usati un Mi e un Si provvisori, che nello schema ho indicato con note a losanga. Analogamente la serie Sol-Si-Fa♯-Do♯ parte dal Sol buono dello scomparto e usa un Si e un Fa♯ provvisori, che non devono essere confusi con quelli già disponibili. Perciò essi saranno collocati fuori ottava. La serie Si-Sol-Do-Fa inizia dal Si dello scomparto, avvalendosi di Sol e Do transitori posti nell’ottava superiore.
Questa tecnica è un po’ laboriosa, ma garantisce un’ottima precisione, considerando che impiega solo intervalli puri.

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Si sono così raggiunte otto note su dodici. Si possono facilmente trovare il Re e il Mi mancanti mediante il metronomo e quindi ricavare Sol♯ e Si♭. Si imposta il valore di 92 pulsazioni al minuto e si accorda il Re in terza maggiore sotto il Fa♯ scandendo quartine. Con lo stesso metronomo si ritmano quintine per accordare la sesta maggiore Si-Sol♯. Infine si controlla la quinta Si-Fa♯ che dovrà battere 92 volte al minuto.
Da ultimo si accorda il Si♭ grave in modo che la terza maggiore Si♭-Re batta quartine con il metronomo impostato a 73. Accordato il Sol all’ottava grave, si può accordare la sesta maggiore Sol-Mi con il medesimo valore metronomico, ma ritmo a quintine, controllando poi la quinta La-Mi con scansione all’intero. Un ulteriore controllo, superfluo a questo punto, interessa le terze maggiori Do-Mi e Mi-Sol♯, la sesta maggiore La-Fa♯ e la quinta La-Mi con il metronomo impostato a 82 battiti al minuto.

Ognuno è libero di organizzare la procedura come è più comodo, effettuando anche altri confronti, ma si deve considerare che salendo in frequenza si perde in precisione, giacché l’uso del metronomo è meno accurato quando i battimenti degli intervalli di controllo sono molto rapidi. Personalmente trovo ostico ascoltare battimenti veloci nell’ottava di 2 piedi, e preferirei lavorare in quella inferiore, ma non sempre negli organi di piccole dimensioni ciò è agevole, e quindi ho optato per un compromesso.

Gli intervalli presenti nel sistema sono caratterizzati come segue.
Semitono cromatico: 88.6 ¢; semitono diatonico: 108.1 ¢cents.
Il tono vale 196.74¢, inoltre nel sistema esistono due terze diminuite Do♯-Mi♭ e Sol♯-Si♭ che valgono 216.29¢.
Nove intervalli di terza minore sono stretti di mezzo comma (ossia di 10.8¢) e valgono 304.89¢; le rimanenti tre seconde aumentate (Fa-Sol♯, Mi♭-Fa♯, Si♭-Do♯) misurano 285.34¢.
Otto terze maggiori sono larghe 393.48¢ e quattro quarte diminuite (Sol♯-Do, Si-Mi♭, Do♯-Fa, e Fa♯-Si♭) valgono 413.04¢. Ciò implica che il loro rivolto, una quinta aumentata (Do-Sol♯, Mi♭-Si, Fa-Do♯, e Si♭-Fa♯), misuri 786.96¢, circa 4.5¢ più largo dell’intervallo di giusta intonazione 11:7. Per questo motivo, mentre le terze maggiori enarmoniche (La♭-Do, Si-Re♯, Re♭-Fa e Fa♯-La♯) non sono praticabili, i loro rivolti, anche se non corrispondono ai reali nomi delle note, sono dotati di un sapore caratteristico, non dissonante, che li rende perfettamente usabili. Dunque la triade maggiore in primo rivolto (conosciuta anche come accordo di terza e sesta) di Si, Do♯ e Fa♯ è tollerata, mentre invece il lupo Sol♯-Mi♭ impedisce qualsiasi forma della triade maggiore di La♭.
Il lupo vale 717.9¢, con un eccesso di 16¢ circa, pari a 5/6 di comma sintonico meno lo schisma.

Allego un prontuario con le tabelle degli scostamenti dall’equabile e i battimenti. I lavori di Patrizio Barbieri citati precedentemente e alcuni interessanti siti in lingua inglese dànno ulteriori informazioni relative a questo sistema mesotonico.

Sistemi mesotonici
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